s'il vous plait aider moi j'arrive pas à trouver une réponse à la 2 question.​

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

1)

On sait que  a>0 et b> 0

On sait aussi que (a -b)² = a² - 2 ab + b²

de plus (a - b)² ≥0

or a>0 et b> 0

donc (a -b)² > 0

donc (a -b)² = a² - 2 ab + b² > 0

donc a² + b² > 2 ab

2)

Vu à la question précédente avec a > 0 et b>0

on a  : a² + b² > 2 ab

donc si je divise par ab à droite et à gauche de l'inéquation

on a (a² + b²) / ab > 2

puis on divise par a² + b² et on a

1/ab > 2/ (a² + b²)

donc 2/ (a² + b²) < 1/ (ab) (résultat 1)

__________________________________

toujours en partant de la question 1) on a avec a >0 et b> 0

a² + b² > 2 ab

2 ab peut s'écrire 2 a²b²/ab = 2 a×a×b×b/(a×b)

donc a

a² + b² > 2 a²b²/ab

on divise par 2a²b² à gauche et à droite de l'inéquation et on a

a² + b² / (2 a²b²) > 1/ab (résultat 2)

_____________________________________________

en prenant le résultat 1 et le résultat 2 on a

2/ (a² + b²) < 1/ (ab)  <  1/ab  <  a² + b² / (2 a²b²)

___________________________________________________

3)

prenons a = √3 >0  et b = √5> 0

on a donc

(√3 - √5)² = (√3)² - 2× √3×√5 + (√5)²

(√3 - √5)² = 3 - 2√15 + 5

(√3 - √5)² = 8 - 2√15

si on applique l'inéquation de la question 1) on a

3 + 5 > 2√15

si on applique l'inéquation démontrée à la question 2) on a

avec a = √3 > 0  et b = √5 > 0

2 / [(√3)² + (√5)²] < 1/ (√3×√5) < [(√3)² + (√5)²]/(2 × (√3)² × (√5)² )

donc on a

2 / [3 + 5] < 1/ (√15) < [3 + 5]/(2 × 3 × 5 )

donc

2 / 8 < 1/ (√15) < 8/(2 × 3 × 5 )

en appliquant la fonction inverse qui est décroissante sur ]0;+∞[,

l'inéquation change de sens

on a donc

(2 × 3 × 5 )/ 8 <  √15  <  8 / 2

donc 30/8 < √15 < 4 or 30/8 = 3,75

donc on a 3,75 < √15 < 4

on en déduit que 3,75 < √15 < 4