Mathématiques

Question

Bonjour je suis en 1ere et merci pour votre aide ( cela est pour lundi merci d'avance ).
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R=(0;i;j)
Pour chaque nombre réel t, on considère le point Mt (-2 + 4t ; 1 + 3t)
3.1 Démontrer que lorsque t parcourt R, alors le point Mt parcourt une droite D dont on donnera une équation cartésienne.
3.2 On considère la fonction f : R → R⁺ , qui à chaque nombre réel t associe f(t)=║vecteur AMt║² , avec A(5 ;2).
Vérifier que pour tout t ∈ R, f(t)= 25t² - 62t + 50
3.3 Donner le tableau de variation de f
3.4 En déduire de la question précédente :
a. Les coordonnées exactes de l’unique point I ∈ D le plus proche du point A.
b. La distance entre le point A et la droite D.
Bonjour je suis en 1ere et merci pour votre aide ( cela est pour lundi merci d'avance ). Le plan est rapporté à un repère orthonormé R=(0;i;j) Pour chaque nombr

0 Commentaire.

1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Explications étape par étape :

    3-1)les coordonnées de M en fonction de t sont

    x=-2+4t   (1)

    y=1+3t    (2)

    on élimine les t

    3*(1)   3x=-6+12t

    -4*(2)  -4y=-4-12t

    (1)+(2)    3x-4y=-10     soit 3x-4y+10=0  ceci est une des équations cartésiennes d'une droite (D)

    3-2) II vecAMt II²=(xM-xA)²+(yM-yA)²=(2+4t-5)²+(1+3t-2)²=(-7+4t)²+(-1+3t)²

    =49-56t+16t²+1-6t+9t²=25t²-62t+50

    f(t)=25t²-62t+50    (donnée dans l'énoncé)

    3-3) Dérivée  f'(t)=50t-62    f'(t)=0 pour t=31/25

    Tableau de signes de f'(t) et de variations de f(t)

    t      -oo                          31/25                             +oo

    f'(t)               -                    0               +

    f(t)  +oo      décroi          f(31/25)       croi          +oo

    3-4)

    a) Coordonnées de I:  on reprend les expressions en fonction de t   xI=-2+4(31/25)=74/25 ; yI=1+3(31/25)=118/25)

      I(74/25; 118/25)

    distance AI (formule connue): AI= V[(xI-xA)²+(yI-yA)²]=..................je te laisse vérifier les calculs j'ai trouvé 3,4 ul.  

    Nota: pour vérifier, sur un repère orthonormé  (1cm);  choisis  2 valeurs de t pour obtenir deux points M  et trace la droite (D) retrouve son équation réduite par lecture graphique; Place le point A trace la perpendiculaire à (D) passant par A , vérifie les coordonnées de I et la distance AI.    

Autres questions