Bonjour. J'ai besoin de votre aide en maths svp. Je vous remercie par avance :) Une suite (un)n∈N est générée par la relation de récurrence un+1 = cun + 6 où c
Question
Une suite (un)n∈N est générée par la relation de récurrence un+1 = cun + 6 où c est une constante.
a- Etant donnés u1 = 28 et u2 = 13, déterminer la valeur de c.
b- Pour tout entier naturel n, on pose vn = un - 8. Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique.
c- En déduire l'expression de un en fonction de n.
2 Réponse
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1. Réponse caylus
Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
a)
[tex]u_{n+1}=C*u_n+6\\u_2=C*u_1+6 \Longrightarrow\ 13=C*28+6 \Longrightarrow\ C=\dfrac{1}{4} \\\\[/tex]
b)
[tex]u_1=28\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{4}+6 \\\\v_n=u_n-8\\\\v_{n+1}=u_{n+1}-8=\dfrac{u_n}{4} +6-8=\dfrac{1}{4} (u_n-8)=\dfrac{v_n}{4} \\[/tex]
La suite est donc géométrique (V(n)) de raison 1/4 et v(1)=28-8=20
c)
[tex]\\v_n=v_1*(\dfrac{1}{4} )^{n-1}=20*4*(\frac{1}{4})^n=\dfrac{80}{4^n} \\\\u_n=v_n+8=\dfrac{80}{4^n} +8\\[/tex]
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2. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Un+1 = c Un + 6 devient 13 = 28c + 6
7 = 28c
7/28 = c
1/4 = c
0,25 = c .
■ étude de la suite (Un) :
U1 = 28 ; U2 = 13 ; U3 = 9,25 ; ...
La suite (Un) est donc décroissante !
recherche de sa limite :
L = 0,25L + 6 donne 0,75L = 6
L = 6/0,75
d' où Limite = 8 .
■ étude de la suite (Vn) :
V1 = 20 ; V2 = 5 ; V3 = 1,25 ; ...
la suite (Vn) semble donc être une suite
géométrique de raison q = 0,25
démonstration :
Vn+1 = Un+1 - 8
= 0,25Un + 6 - 8
= 0,25Un - 2
= 0,25(Un - 8)
= 0,25 Vn .
■ expression de Un :
Un = Vn + 8 = V1*0,25^(n-1) + 8
= 20*0,25^(n-1) + 8
= 80*0,25^n + 8
= 8 [ (10*0,25^n) + 1 ] .
■ vérif :
U1 = 8 * 3,5 = 28
U2 = 8 * ( 0,625 + 1 ) = 13
U3 = 8 * ( 0,15625 + 1 ) = 9,25