Bonsoir si vous pouvez m’aider sa serait top je suis en bts et les maths c’est pas fait pour moi Exercice 1: C. Étude d'une fonction Soit f la fonction définie

Réponse :

bonjour c'est un exercice de terminale.

Explications étape par étape :

f(t)=-5e^(-t)+5e^(-0,5t) sur [0; +oo[

1a) si x tend vers +oo , -5e^(-t) tend vers 0- et 5e^(-0,5t) tend vers0+ mais on note que 1/e^t est <1/e^0,5t  donc f(t) tend vers0+

b) la droite y=0 est une asymptote horizontale avec f(t)-y>0

2a) Dérivée on rappelle que la dérivée de e^u(x) est u'(x)*e^(u(x)

f'(t)=5e^(-t)-2,5e^(-0,5t)

on factorise 2,5e^(-t)

f'(t)=[2,5e^(-t)]*[2-e^(0,5t)] en application de la formule a^m a^n=a^(m+n)

e^(-t)*e^(0,5t)=e^(-0,5t)

2b) f'(t) =0 si e^(0,5t)=2

on passe par le ln

0,5t=ln2    donc t=2*ln2  =1,4 (environ)

2c) tableau de signes de f'(t) et de variations de f(t)  sur [0; +oo[

x        0                            2ln2                               +oo

f'(t)                   +                 0                -

f(t)   0             croi             f(2ln2)         décroi           0+

f(2ln2)=1,25 (environ)

4) on applique la formule

y=f'(0)(x-0)+f(0)=2,5*(2-1) (x-0)+0=2,5x

équation de (T) y=2,5x