Bonsoir, je pourrais avoir de l'aide pour cette exercice svp merci !!! g est la fonction définie sur R par g(x) = (2x³ - 4x²) e‐x. A) Calculer g'(x). B) Détermi

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

g(x)=(2x³-4x²)e^-x peut s'écrire g(x)=(2x³-4x²)/e^x

A)  g(x) est de la forme u/v donc g'(x)=(u'v-v'u)/v²

 g'(x)=[(6x²-8x)e^x -(e^x)(2x³-4x²)]/(e^x)²

après simplification par e^x et factorisation de x au numérateur

g'(x)=x(-2x²+10x-8)/e^x

e^x étant toujours>0 le signe de g'(x) dépend du signe de x(-2x²+10x-8)

g'(x)=0 pour x=0 et pour  -2x²+10x-8=0   soit x=1 et x=4

B) le signe de g'(x) on le fera apparaître dans le tableau de variations

C) Limites  

si x tend vers -oo  2x³-4x² tend vers-oo  et e^x tend vers0+ donc g(x) tend vers -oo/0+=-oo

si x tend vers +oo, 2x³-4x² tend vers+oo  et e^x  tend vers+oo   g(x) tend vers +oo/+oo (FI)  mais on sait que la fonction e^x l'emporte sur x^n qd x tend vers +oo  donc g(x) tend vers0+

D) tableau des signes de g'(x) et de variations de g(x)

x         -oo                        0                  1                       4                    +oo

x                        -              0       +                   +                     +

h(x)                    -                        -          0        +            0       -

g'(x)                   +               0       -          0        +            0        -              

g(x)     -oo         C              g(0)     D       g(1)       C         g(4)      D           0+

nota: h(x)=-2x²+10x-8  (pour raccourcir dans le tableau)

C=croissante et D=décroissante

g(0)=0

g(1)-2/e

g(4)=64/e