Bonjour je bloque sur un exercice f(x)=(x-2)^2(x^2+4x+3) il faut trouver sa dériver grâce à 2u’u pour (x-2)^2 et trouver la dérivé de x^2+4x+3 puis faire u’v+v

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

f(x)=(x-2)^2(x^2+4x+3) il faut trouver sa dériver grâce à 2u’u pour (x-2)^2 et trouver la dérivé de x^2+4x+3 puis faire u’v+v’u mais en faisant le calcul il faut trouver un terme commun qui doit être normalement x-2 et pourvoir factoriser

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f(x) = (x-2)²(x²+4x+3)

f est dérivable sur IR

f(x) est de la forme u(x) v(x) avec

et la dérivée de (u(x) ×  v(x)) est (u(x)  × v(x) )' = u'(x) × v(x) + u(x)× v'(x)

u(x) = (x -2)² et u'(x) = 2 (x - 2)

v(x) = x² + 4x + 3  et v'(x) = 2x + 4 = 2 (x + 2)

donc  (u(x)  × v(x) )' = u'(x) × v(x) + u(x)× v'(x)

donc on a  (u(x)  × v(x) )' = 2 (x - 2) × (x² + 4x + 3 ) + (x -2)²× 2 (x + 2)

ainsi f'(x) = 2 (x - 2) × (x² + 4x + 3 ) + (x -2)²× 2 (x + 2)

f'(x) = 2 (x - 2) (x² + 4x + 3 ) +2 (x -2)(x -2)(x + 2)

f'(x) = 2 (x - 2) ((x² + 4x + 3 ) + 2 (x -2)(x -2)(x + 2)

le facteur commun est ici souligné , on le met devant et on met le reste

derrière.

f'(x) = 2 (x - 2) ( (x² + 4x + 3 ) + (x -2)(x + 2) )

(x -2)(x + 2) est de la forme (a - b)(a + b) = a² - b² avec a = x et b = 2

et a² = x² et b² = 4 donc (x -2)(x + 2) = x² - 4

f'(x) = 2 (x - 2) ( x² + 4x + 3  + x² - 4 )

f'(x) = 2 (x - 2) ( 2x² + 4x - 1)

voila ma réponse qui j'espère t'aidera