Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Une balle est projetée horizontalement à 15m/s d’une falaise haute de 20m. Déterminer : a) la durée de la trajectoire dans

Réponse :

Explications :

Bonjour,

Système étudié : Balle, centre de gravité G

Référentiel : terrestre considéré galiléen

V a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) : V x = V et V z = 0

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (balle en chute libre) donc : ∑ Forces = P balle

Seconde loi de Newton :

∑ Forces = P balle = m * g = m * aG donc  aG = g

Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement sont :

aG x = 0 et aG z = -g

par intégration , on a :

VG x = K1

VG z = -g * t + K2

Où  K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

t = 0, VG x(0) = V donc K1 = V

t = 0, VG z(0) = 0 donc K2 = 0

soit : VG x = V et VG z = -g * t

par intégration :

OG x = V * t + K3

OG z = -1/2 * g * t² + K4

Où  K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0

a t = 0, OG z(0) = H (hauteur de la falaise)

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG x = V * t et OG z = -1/2 * g * t² + H

Le mouvement de la balle est donc composé d'un :

- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V sur (Ox)

- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale nulle sur (Oz).

Déterminer :  

a) la durée de la trajectoire dans l’air :

soit OG z = -1/2 * g * t² + H avec H = 20 m et OG z = 0 = point d’impact

donc 0 = -1/2 * g * t² + 20 soit t² = 2 * 20 / g, prenons g = 10m/s2

et donc t = √(40/10) = 2 s

b) sa portée horizontale R, qui correspond au déplacement horizontal séparant le point de départ du point d’impact au sol :  

soit OG x = R = V * t avec Bonjour,

Système étudié : Balle, centre de gravité G

Référentiel : terrestre considéré galiléen

V a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) : V x = V et V z = 0

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (balle en chute libre) donc : ∑ Forces = P balle

Seconde loi de Newton :

∑ Forces = P balle = m * g = m * aG donc  aG = g

Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :

aG x = 0 et aG z = -g

par intégration , on a :

VG x = K1

VG z = -g * t + K2

Où  K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

t = 0, VG x(0) = V donc K1 = V

t = 0, VG z(0) = 0 donc K2 = 0

soit : VG x = V et VG z = -g * t

par intégration :

OG x = V * t + K3

OG z = -1/2 * g * t² + K4

Où  K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0

a t = 0, OG z(0) = H (hauteur de la table)

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG x = V * t et OG z = -1/2 * g * t² + H

Le mouvement de la balle est donc composé d'un :

- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V sur (Ox)

- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale nulle sur (Oz).

Déterminer :  

a) la durée de la trajectoire dans l’air  

soit OG z = -1/2 * g * t² + H avec H = 20 et OG z = 0 = point d’impact

donc 0 = -1/2 * g * t² + 20 soit t² = 2 * 20 / g, prenons g = 10m/s2

et donc t = V40/10 = 2 s

b) sa portée horizontale R, qui correspond au déplacement horizontal séparant le point de départ du point d’impact au sol :  

soit OG x = R = V * t avec V = 15 m/s et t = 2 s

donc  R = 15 * 2 = 30 m

Vérifiez mes calculs !!