Bonsoir tous le monde, besoin d'aide pour cette exercice de math s'il vous plaît :) Merci d'avance pour votre aide ^^ 1. Soit f la fonction définie sur R par f(
Question
1. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x(au carré) + x – 2
Étudier le signe de f.
2. Soit g la fonction définie sur R par g(x)= x(au cube) - 2x et C sa représentation graphique dans un repère.
a) Déterminer le nombre dérivé de g en 1 en utilisant la définition du nombre dérivé d’une fonction en un réel.
b) Retrouver ce résultat en calculant la dérivée de g.
c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 1.
3. a) Montrer que, pour tout réel x, (x-1)(x(au carré) + x - 2) = x(au cube) – 3x + 2
b) En déduire la position de C par rapport à T.
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ 1°) f(x) = x² + x - 2 = (x-1)(x+2)
f est négative pour -2 < x < 1 .
f est donc positive pour x ∉ [ -2 ; 1 ] .
■ 2°) g(x) = x³ - 2x = x(x²-2) = x(x+√2)(x-√2)
Tableau :
x --> -∞ -√2 -√(2/3) 0 √(2/3) √2 +∞
varia --> croissante | décroissante | croissante
sign g --> - 0 + 0 - 0 +
recherche du nb dérivé :
[ g(1+h) - g(1) ] / h = [ (1+h)³ - 2(1+h) + 1 ] / h
= [ 1 + 3h + 3h² + h³ - 2 - 2h + 1 ] / h
= [ h + 3h² + h³ ] / h
= 1 + 3h + h²
donc Lim(1+3h+h²) pour h tendant vers zéro = 1 .
dérivée de g :
g ' (x) = 3x² - 2 donne g ' (1) = 1
équation de la Tgte en (1 ; -1) :
y = x - 2 .
■ 3a) (x-1)(x² + x - 2) = x³ + x² - 2x - x² - x + 2
= x³ - 3x + 2 .
■ 3b) g(x) > x - 2 donnerait
x³ - 2x > x - 2
x³ - 3x + 2 > 0
(x-1) (x-1)(x+2) > 0
(x-1)² (x+2) > 0
x > -2 .
conclusion :
la courbe C est au-dessus de la Tangente pour x > -2 ;
C est au-dessous de la Tangente pour x < -2 ;
la courbe C et la Tangente ont un point de contact ( 1 ; -1 )
et un point d' intersection ( -2 ; -4 ) .