Bonjour, Pour lundi j'ai un exercice à rendre et j'ai des difficultés à comprendre, pouvez vous m'aider svp ? je dois faire la seconde partie. Enoncé : Une biol
Question
Pour lundi j'ai un exercice à rendre et j'ai des difficultés à comprendre, pouvez vous m'aider svp ?
je dois faire la seconde partie.
Enoncé :
Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île du Pacifique.
En 2020, elle estime qu'il y a 1000 singes sur l'île.
Premier modèle
La biologiste suppose que la population de singe augmente de 4 % chaque année.
On note un
le nombre de singes, en milliers, sur l'île en 2020+n.
1) Donner la valeur de u0 puis de u1
.2) Déterminer la nature de la suite ( un ), puis exprimer un
en fonction de n.
3) Déterminer la limite de la suite ( un ).
4) Que peut-on penser de ce modèle ?
Deuxième modèle
La biologiste suppose finalement que la population de singes est modélisée par une suite ( v n )
définie par v0=1 et, pour tout n∈ℕ, v n +1=0,9v n+0,15.
1) Avec ce modèle, combien peut-on prévoir de singe en 2021 :8
2) Étude de la suite ( v n )
a) Déterminer l'expression de v n
en fonction de n.
b) Montrer que la suite ( v n ) est strictement monotone et préciser son sens de variation.
c) Déterminer la limite de la suite ( v n ).
d) Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
3) On souhaite déterminer le nombre d'années à partir du+uel la population de singes
dépassera les 1400 individus.
a) Recopier et compléter l'algorithme suivant :
n = 0
v=1
while ....
n=...
v=....
print(...)
b) Déterminer, par la méthode de votre choix, l'année correspondante.
Merci pour votre aide !
Goncalves lara.
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
C'est plus simple et plus clair d'envoyer une photo de l'énoncé !!
Premier modèle :
Une valeur qui augmente de 4% est multipliée par (1+4/100)=1.04.
1)
U(0)=1000
U(1)=1000 x 1.04=1040
2)
On a donc U(n+1)=U(n) x 1.04 qui prouve que la suite (U(n)) est une suite géométrique de raison q=1.04 et de 1er terme U(0)=1000.
On sait donc que :
U(n)=U(0) x q^n soit ici :
U(n)=1000 x 1.04^n
3)
Comme 1.04 > 1 :
lim (U(n))=+∞
4)
Ce modèle n'est pas acceptable car la population de singes ne peut augmenter indéfiniment sans limite : la nourriture viendrait à manquer !!
Deuxième modèle :
On a donc :
V(0)=1 ( 1 millier , je suppose)
Et :
V(n+1)=0.9*V(n)+0.15
1)
En 2021 :
V(1)=0.9*1+0.15=1.05 millier soit 1050 singes. ( Et non 8 comme tu as écrit).
2)
a)
Oh la la !! Il n'y a pas de formule qui permette de trouver le terme V(n) en fonction de "n" pour une suite qui n'est ni arithmétique , ni géométrique !!
On a besoin d'une suite intermédiaire . On pose :
W(n)=V(n)-1.5
Je ne t'explique pas comment j'ai trouvé ça . Tu comprendras avec la suite peut-être.
W(n+1)=V(n+1)-1.5 mais V(n+1)=0.9*V(n)+0.15 donc :
W(n+1)=0.9*V(n)+0.15-1.5
W(n+1)=0.9*V(n)-1.35 ==>on met "0.9" en facteur :
W(n+1)=0.9(V(n)-1.5) car 0.9*1.5=1.35 : OK ?
Donc :
W(n+1)=0.9*W(n) qui prouve que la suite (W(n)) est géométrique de raison q=0.9 et de 1er terme W(0)=V(0)-1.5=1-1.5=-0.5.
Donc :
W(n)=-0.5 x 0.9^n
Mais : V(n)=W(n)+1.5 donc :
V(n)=1.5-0.5*0.9^n
Cela m'étonnerait que l'on te demande tout ça sans te donner le départ.
b)
V(n+1)-V(n)=1.5-0.5*0.9^(n+1)-(-1.5-0.5*0.9^n)
V(n+1)-V(n)=0.5*0.9^n-0.5*0.9.9^n
On met : 0.5*0.9^n en facteur :
V(n+1)-V(n)=0.5*0.9^n(1-0.5*0.9)=0.5*0.9^n*0.55
V(n+1)-V(n)=0.275*0.9^n qui est > 0.
Donc :
V(n+1)-V(n) > 0 donc :
V(n+1) > V(n) qui prouve sue la suite (V(n)) est strictement croissante.
c)
On a donc :
V(n)=1.5-0.5*0.9^n
lim 0.9^n=0 car -1 < 0.9 < 1
n--->+∞
Donc :
lim V(n)=1.5-0.5 x 0=1.5 ( en millier)
d)
La population a pour limite 1500 singes.
3)
a)
n=0
v=1
While v < 1400
n=n+1
v=1.5-0.5*0.9^n
Print 2020+n
b)
Je rentre la fonction :
Y=1.5-0.5*0.9^X
dans ma calculatrice .
X=15 donne Y=1.3976
X=16 donne Y=1.4073
Donc ce sera en 2020+16=2036.