Bonjour j'ai vraiment besoin d'aide svp pour un dm de math: Pour cela, on suppose que √2 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe deux nombres entiers
Mathématiques
lola5062
Question
Bonjour j'ai vraiment besoin d'aide svp pour un dm de math:
Pour cela, on suppose que √2 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe deux nombres entiers naturels p et q tels que √2=p/q, où q est différent de 0 et et p/q est une fraction irréductible .
1. Montrer que p²=2p²
2. En déduire que p² est un nombre pair
3. On peut donc écrire p=2k, où k est un entier naturel quelconque .
Montrer alors que q² est un nombre pair, et donc q également
4. Montrer que l'on arrive à une contradiction
Pour cela, on suppose que √2 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe deux nombres entiers naturels p et q tels que √2=p/q, où q est différent de 0 et et p/q est une fraction irréductible .
1. Montrer que p²=2p²
2. En déduire que p² est un nombre pair
3. On peut donc écrire p=2k, où k est un entier naturel quelconque .
Montrer alors que q² est un nombre pair, et donc q également
4. Montrer que l'on arrive à une contradiction
1 Réponse
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1. Réponse trudelmichel
Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
on suppose √2 rationnel
donc
√2=p/q avec p et q premiers entre eux (ils n'ont pas de diviseur commun)
√2=p/q
2=p²/q²
p²=2q²
p² est pair
rappel si n² est pair alors n est pair
donc
p est pair
et p peut s'écire
p=2k
p²=2q²
(2k)²=2q²
4k²=2q²
q²=2k²
q² est pair
qest pair
p est pair divisible par 2
q est pair donc divisible par 2
donc p et q sont divisibles par 2
donc p et q ne sont pas premiers entre eux
or c'est le postulat de départ p et q premier entre eux donc
√2 ne peut s'écrire p/a
donc
√2 n'est pas un nombre rationnel