slt! J'espère vous vous portez bien! Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cette exercice s'il vous plaît Merci beaucoup !

Réponse :

bonjour,

Explications étape par étape :

f(x)=(3/2)x+1/(x+1)-1

f'(x)=3/2-1/(x+1)²=[3(x+1)²-2]/2(x+1)²=(3x²+6x+1)/2(x+1)²

le signe de f'(x) dépend du signe de 3x²+6x+1

f'(x)=0 delta=24 ;Vdelta=2V6

solutions x1=(-6-2V6)/6   valeur<0 et x2=(-6+2V6)/6 valeur<0

donc sur [0; 1], f'(x) est >0 et f(x) est croissante.

valeurs aux bornes f(0)=0  et f(1)=3/2+1/2-1=1

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    0                                   1

f'(x)                      +

f(x)0         croi                    1

Les 3 premières conditions sont remplies

Signe de f(x)-x

3x/2+1/(x+1)-1 -x= (x²-x)/2(x+1) ceci après mise au même dénominateur développement et réduction du numérateur.

le signe de f(x)-x dépend du signe de x²-x sur [0 ;1]

f(x)-x= 0 pou x=0 et x=1 sinon f(x)-x<0

la 4ème condition est donc remplie

Conclus

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