Bonsoir, une personne plutôt calée en termes de suites ( 1ère générale) peut m'aider à faire ce dm qui est à rendre pour demain s'il-vous-plaît ? ​

Réponse :

Pour chacune des suites ci-dessous, déterminer le sens de variation en calculant la différence  Un+1 - Un

1) (Un) est définie sur N par  Un = 2 n² - n + 1

Un+1 = 2(n+1)² - (n+1) + 1

        = 2(n² + 2 n + 1) - n - 1 + 1

        = 2 n² + 4 n + 2 - n - 1 + 1

  Un+1 = 2 n² + 3 n + 2

  Un+1 - Un = 2 n² + 3 n + 2 - (2 n² - n + 1)

                   = 2 n² + 3 n + 2 - 2 n² + n - 1

           Un+1 - Un = 4 n + 1      puisque  n ≥ 0  ⇔ 4 n ≥ 0  ⇔ 4 n + 1 ≥ 1  ≥ 0

donc  Un+1 - Un ≥ 0  ⇒ la suite (Un) est croissante sur N

2) (Un) est définie sur N  par  Un = 1/(2 n + 1)

Un+1 = 1/(2(n+1) + 1) = 1/(2 n + 3)

Un+1 - Un = 1/(2 n + 3)  - 1/(2 n + 1)

                 = (2 n + 1)/(2 n + 3)(2 n + 1) - (2 n + 3)/(2 n + 3)(2 n + 1)  

                 = (2 n + 1 - 2 n - 3)/(2 n + 3)(2 n + 1)

                 = - 2/(2 n + 3)(2 n + 1)

or  n ≥ 0  ⇔ 2 n ≥  ⇔ 2 n + 3 ≥ 3 ≥ 0

    n ≥ 0  ⇔ 2 n ≥ 0  ⇔ 2 n + 1 ≥ 1 ≥ 0

donc  (2 n + 3)(2 n + 1) > 0   et  - 2 < 0

donc  - 2/(2 n + 3)(2 n + 1) ≤ 0  ⇒ Un+1 - Un ≤ 0 ⇒ (Un) est décroissante sur N

3)  (Un) est définie sur N  par  U0 = 1  et Un+1 = Un + 2 n + 3

Un+1 - Un = Un + 2 n + 3 - Un  = 2 n + 3

n ≥ 0  ⇔ 2 n ≥ 0  ⇔ 2 n + 3 ≥ 3 ≥ 0    donc  Un+1 - Un ≥ 0

(Un) est croissante sur N

4)  (Un) est définie sur N  par  U0 = 2  et Un+1 = Un - √(U²n + 3)

Un+1 - Un = Un - √(U²n + 3) - Un = - √(U²n + 3)   or √(U²n + 3) ≥ 0

et - √(U²n + 3) ≤ 0   donc  Un+1 - Un ≤ 0  ⇒ (Un) est décroissante sur N

Explications étape par étape :