Mathématiques

Question

Bonjour,


Pour lundi j'ai un exercice à rendre et j'ai des difficultés à comprendre, pouvez vous m'aider svp ?


je dois faire la seconde partie.


Enoncé :


Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île du Pacifique.

En 2020, elle estime qu'il y a 1000 singes sur l'île.

Premier modèle

La biologiste suppose que la population de singe augmente de 4 % chaque année.

On note un

le nombre de singes, en milliers, sur l'île en 2020+n.


1) Donner la valeur de u0 puis de u1

.2) Déterminer la nature de la suite ( un ), puis exprimer un

en fonction de n.

3) Déterminer la limite de la suite ( un ).

4) Que peut-on penser de ce modèle ?


Deuxième modèle

La biologiste suppose finalement que la population de singes est modélisée par une suite ( v n )

définie par v0=1 et, pour tout n∈ℕ, v n +1=0,9v n+0,15.

1) Avec ce modèle, combien peut-on prévoir de singe en 2021 :8

2) Étude de la suite ( v n )

a) Déterminer l'expression de v n

en fonction de n.

b) Montrer que la suite ( v n ) est strictement monotone et préciser son sens de variation.

c) Déterminer la limite de la suite ( v n ).

d) Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

3) On souhaite déterminer le nombre d'années à partir du+uel la population de singes

dépassera les 1400 individus.

a) Recopier et compléter l'algorithme suivant :

n = 0

v=1

while ....

n=...

v=....

print(...)

b) Déterminer, par la méthode de votre choix, l'année correspondante.


Merci pour votre aide !


Goncalves lara.

1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Explications étape par étape :

    C'est plus simple et plus clair d'envoyer une photo de l'énoncé !!

    Premier modèle :

    Une valeur qui augmente de 4% est multipliée par (1+4/100)=1.04.

    1)

    U(0)=1000

    U(1)=1000 x 1.04=1040

    2)

    On a donc U(n+1)=U(n) x 1.04 qui prouve que la suite (U(n)) est une suite géométrique de raison q=1.04 et de 1er terme U(0)=1000.

    On sait donc que :

    U(n)=U(0) x q^n soit ici :

    U(n)=1000 x 1.04^n

    3)

    Comme 1.04 > 1 :

    lim (U(n))=+∞

    4)

    Ce modèle n'est pas acceptable car la population de singes ne peut augmenter indéfiniment  sans limite : la nourriture viendrait à manquer !!

    Deuxième modèle :

    On a donc :

    V(0)=1  ( 1 millier , je suppose)

    Et :

    V(n+1)=0.9*V(n)+0.15

    1)

    En 2021 :

    V(1)=0.9*1+0.15=1.05 millier soit 1050 singes. ( Et non 8 comme tu as écrit).

    2)

    a)

    Oh la la  !! Il n'y a pas de formule qui permette de trouver le terme V(n) en fonction de "n" pour une suite qui n'est ni arithmétique , ni géométrique !!

    On a besoin d'une suite intermédiaire . On pose :

    W(n)=V(n)-1.5

    Je ne t'explique pas comment j'ai trouvé ça . Tu comprendras avec la suite peut-être.

    W(n+1)=V(n+1)-1.5 mais V(n+1)=0.9*V(n)+0.15 donc :

    W(n+1)=0.9*V(n)+0.15-1.5

    W(n+1)=0.9*V(n)-1.35 ==>on met "0.9" en facteur :

    W(n+1)=0.9(V(n)-1.5) car 0.9*1.5=1.35 : OK ?

    Donc :

    W(n+1)=0.9*W(n) qui prouve que la suite (W(n)) est  géométrique de raison q=0.9 et de 1er terme W(0)=V(0)-1.5=1-1.5=-0.5.

    Donc :

    W(n)=-0.5 x 0.9^n

    Mais : V(n)=W(n)+1.5 donc :

    V(n)=1.5-0.5*0.9^n

    Cela m'étonnerait que l'on te demande tout ça sans te donner le départ.

    b)

    V(n+1)-V(n)=1.5-0.5*0.9^(n+1)-(-1.5-0.5*0.9^n)

    V(n+1)-V(n)=0.5*0.9^n-0.5*0.9.9^n

    On met : 0.5*0.9^n en facteur :

    V(n+1)-V(n)=0.5*0.9^n(1-0.5*0.9)=0.5*0.9^n*0.55

    V(n+1)-V(n)=0.275*0.9^n qui est > 0.

    Donc :

    V(n+1)-V(n) > 0 donc :

    V(n+1) > V(n) qui prouve sue la suite (V(n)) est strictement croissante.

    c)

    On a donc :

    V(n)=1.5-0.5*0.9^n

    lim 0.9^n=0 car -1 < 0.9 < 1

    n--->+∞

    Donc :

    lim V(n)=1.5-0.5 x 0=1.5 ( en millier)

    d)

    La population a pour limite 1500 singes.

    3)

    a)

    n=0

    v=1

    While v < 1400

    n=n+1

    v=1.5-0.5*0.9^n

    Print 2020+n

    b)

    Je rentre la fonction :

    Y=1.5-0.5*0.9^X

    dans ma calculatrice .

    X=15 donne Y=1.3976

    X=16 donne Y=1.4073

    Donc ce sera en 2020+16=2036.

Autres questions