Bonsoir j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice en math. Mercii d'avance^^ Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x−3 / x^2−6x+10 et C sa

Réponse :

f(x) = (x - 3)/(x² - 6 x + 10)

1) vérifier que f est bien définie sur R

  x² - 6 x + 10

Δ = 36 - 40 = - 4 < 0  ⇒  pas de solutions  ⇒ x² - 6 x + 10 > 0 pour tout réel x,   par conséquent  l'ensemble de définition est R

2) a) Montrer que, pour tout réel x, f ′ (x) = (−x^2+6x−8)/(x^2−6x+10)^2

la fonction f est dérivable sur  et sa dérivée  f ' est :

 f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = x - 3  ⇒ u '(x) = 1

v(x) = x² - 6 x + 10 ⇒ v'(x) = 2 x - 6

f '(x) = [(x² - 6 x + 10) - (x - 3)(2 x - 6)]/(x² - 6 x + 10)

       = (x² - 6 x + 10 - (2 x²- 12 x + 18)]/(x² - 6 x + 10)

       = (x² - 6 x + 10 - 2 x²+ 12 x - 18)/(x² - 6 x + 10)

       = (- x² + 6 x - 8)/(x² - 6 x + 10)

 b) déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 3

          y = f(3) + f '(3)(x - 3)

f(3) = 3 -3)/(3² - 18 + 10) = 0

f '(3) = - 3² + 18 - 8) = 1

y = x - 3

c) en déduire la position de C par rapport  à la tangente T

il faut étudier le signe de f (x) - y

  f(x) - (x - 3) =  (x−3) /(x^2−6x+10)  - (x - 3)

                    = (x−3) /(x^2−6x+10)  - (x - 3)(x^2−6x+10)/ (x^2−6x+10)

tu continue le calcul est tu fais le tableau de signes

      si  f(x) - (x - 3) > 0  la courbe C sera au-dessus de T

   si  f(x) - (x - 3) < 0  la courbe C sera en dessous de T

Explications étape par étape :