bonjour serait il possible de m’aider pour ce dm de maths niveau 2nde : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=5 cm et AC = 6 cm. Soit M, un point de [AB
Question
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=5 cm et AC = 6 cm.
Soit M, un point de [AB], la parallèle à (AC) passant par M coupe [BC] en N, la parallèle à [AB]
passant par N coupe (AC) en P.
Comment placer M pour que l'aire de AMNP soit le quart de celle du triangle ABC.
1.
Soit x, la longueur AM (en cm) et f la fonction qui à x associe l'aire de AMNP (en cm)
a) Sur quel intervalle f est-elle définie ?
b) Déterminer PN et MN en fonction de x.(en justifiant vos réponse)
c) En déduire que f(x) = 1.2x(5 - x)
d) Montrer que f(x) peut aussi s'écrire f(x) = 7,5 - 1.2(x - 2,5)2
e) En déduire la valeur de x pour laquelle le maximum est atteint ? quel est ce maximum ?
-
2.
Grace à la fonction « trace » de votre calculatrice conjecturer les valeurs de x au dixième
répondant au problème.
3.
a) Montrer que les valeurs cherchées sont solutions de l'équation : (x - 2,5)2 = 3,125
b) Résoudre cette équation.
merci d’avance
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
M se déplace sur AB donc x ∈ [0;5].
Donc :
Df=[0;5].
b)
AMNP est un rectangle donc :
PN=AM=x
--------------
(MN) // (AC)
B , N et C sont alignés dans le même ordre que B,M A Donc :
Thalès dans les 2 triangles BAC et BMN :
BM/BA=MN/AC
(5-x)/5=MN/6
Produit en croix :
5MN=6(5-x)
MN=(30-6x)/5
MN=6 - 1.2x
c)
Aire AMNP=f(x)=PN x MN
f(x)=x(6-1.2x)
f(x)=6x-1.2x²
On met "1.2x" en facteur et on arrive à :
f(x)=1.2x(5-x)
d)
On part de :
f(x)=7.5-1.2(x-2.5)²
que l'on développe :
f(x)=7.5-1.2(x²-5x+6.25)
f(x)=7.5-1.2x²+6x-7.5
f(x)=6x-1.2x² trouvé au c).
Donc :
f(x)=7.5-1.2(x-2.5)²
e)
On a donc :
f(x)-7.5=-1.2(x-2.5)²
(x-2.5)² est toujours positif ( ou nul si x=2.5) car c'est un carré.
Donc :
-1.2(x-2.5)² est toujours négatif ( ou nul si x=2.5).
Donc :
f(x)-7.5 ≤ 0 ( et vaut zéro si x=2.5).
Donc :
f(x) ≤ 7.5
Ce qui prouve que f(x) passe par un max qui vaut 7.5 atteint pour x=2.5.
2)
Je te laisse faire .
3)On veut que : l'aire de AMNP soit le quart de celle du triangle ABC.
Aire ABC=6 x 5/2=15
Donc on veut :
6x-1.2x²=15/4
soit :
6x-1.2x²=3.75 soit :
1.2x²-6x+3.75=0 ==>équation (1)
On va développer :
(x-2.5)²=3.125
x²-5x+6.25=3.125
x²-5x+3.125=0
On multiplie chaque terme par 1.2 :
1.2x²-6x+3.75=0
On retrouve bien l'équation (1) .
b)
On va donc résoudre :
(x-2.5)²=3.125 qui donne :
x-2.5=-√3.125 OU x-2.5=√3.125
x ≈ 0.73 OU x ≈ 4.3
On a donc 2 solutions :
x ≈ 0.73 cm ou x ≈4.3 cm