Bonjour pouvez vous m aider svp ,niveau première , merci d avance ,voici la question . . Quelle est la valeur minimale à donner à x pour que le miroir AEFD ait

Bonjour

30 ( x + 20 ) = 30 x + 600

aire rectangle  = 30 x + 600

[( 30 + x ) * ( x + 20 ) ] / 2

( 30 x + 600 + x² + 20 x )  / 2

( x² + 50 x + 600 ) / 2

= 0.5 x² + 25 x + 300

aire miroir  = 0.5 x ²+ 25 x + 300

0.5 x + 25 x +300 >  ( 30 x + 600 ) * 9 /10

0.5 x² + 25 x + 300 >  (270 x + 5 400 ) / 10

0.5 x² + 25 x + 300 > 27 x + 540

0.5 x² + 25 x - 27 x > 540 - 300

0.5 x² - 2 x  >  240

0.5 x² - 2 x - 240   = 0

Δ  = ( - 2 )² - 4 ( 0.5 * - 240 ) = 4 + 480 = 484  = 22 ²

x 1 = ( 2 - 22 ) / 1 = - 20  non retenu

x 2 = ( 2 + 22 ) / 1 = 24

valeur minimale  = 24 cm  

Réponse :

la valeur mini de x est 24 centimètres

Explications étape par étape :

■ Aire Rectangle ABCD = 30(x+20)

                                        = 30x + 600

  d' où les 9 dixièmes : 27x + 540

■ Aire Miroir AEFD = (30+x) (x+20) / 2

                                = (x² + 50x + 600) / 2

                                = 0,5x² + 25x + 300 .

■ on doit alors résoudre :

  0,5x² + 25x + 300 > 27x + 540

   0,5x² -  2x  -  240 > 0

         x² -  4x  -  480 > 0

        (x - 24) (x + 20) > 0

   or x est POSITIF, donc :

                       x - 24 > 0

                              x > 24 centimètres !  

■ conclusion :

  la valeur mini de x est 24 centimètres !

■ vérif avec x = 25 cm :

  Aire Rectangle = 1350 cm² --> "9/10ème" = 1215 cm²

  Aire Miroir = 1237,5 cm² qui est bien supérieure à 1215 cm²