Bonjour j'avais besoin d'aide pour un dm por favor ;) sois Fm (x) = (m+3) x2 + 2 (2m+1) x + (m+3) un polynôme. Pour quelle valeur de m ce polynôme est il du sec

Réponse :

  fm(x) = (m+3) x² + 2(2 m + 1) x + (m + 3)

1)  ce polynôme est du second degré  pour  m + 3 ≠ 0  ⇔ m ≠ - 3

 m ∈ ]- ∞ ; - 3[U]- 3 ; + ∞[

2)  Δ = (2(2 m+1))² - 4(m+ 3)² = (4 m + 2 + 2(m+ 3))(4 m + 2 - 2(m+3))

        = (6 m + 8)(2 m - 4)

Δ = 0  ⇔ (6 m + 8)(2 m - 4) = 0   ⇔ 6 m + 8 = 0  ⇔ m = - 8/6 = - 4/3

ou  2 m - 4 = 0  ⇔ m = 4/2 = 2

donc  pour m = - 4/3  ou m = 2 , ce polynôme a une racine double

3) ce polynôme n'admet aucune racine réelle  si  Δ < 0

     ⇔  (6 m + 8)(2 m - 4) < 0

       m     - ∞            - 4/3             2               + ∞

6 m + 8              -         0       +               +          

2 m - 4               -                   -       0       +  

   P                     +         0       -       0       +

donc  pour  m ∈ ]- 4/3 ; 2[   le polynôme  n'admet aucune racine

Etudier le signe de fm(x) dans ce cas

le signe de fm(x) dépend du signe de (m+3)

   si m+3 > 0  ⇔ m > - 3  ⇔ m ∈ ]- 3 ; + ∞[   alors fm(x) > 0

   si m + 3 < 0  ⇔ m < - 3  ⇔ m ∈ ]- ∞ ; - 3[  alors  fm(x) < 0

pour quelle valeur de m cette fonction admet un changement de variation en - 3 ?  dresser alors son tableau de variation

    f 'm(x) = 2(m+3) x + 2(2m+1)

    f 'm(-3) = 0   ⇔  2(m+3) *(-3) + 2(2m+1) = 0   ⇔ - 6 m - 18 + 4 m + 2 = 0

⇔ - 2 m - 16 = 0   ⇔ m = - 8      

Explications étape par étape :