2x-1 Exercice: Soit C la parabole représentant la fonction f définie sur R par f(x) = 2x2 – 5x – 3 et D la droite d'équation y = x + m, avec m nombre réel. 1] a

Bonjour,

Soit x ∈ R, m∈R

1. a)  Pour connaître les abscisses des points commun entre C et D, il faut trouver x tel que :

2x² - 5x - 3 = x + m

On a donc :

2x² - 6x - 3 - m = 0

On calcule le discriminant :

Δ = (-6)² -4(2*(-3-m)) = 36 - 4(-6-2m) = 36 + 24 + 8m = 60 + 8m

Comme on veut que C et D n'ait qu'un seul point d'intersection, il faut que l'équation 2x² - 6x - 3 - m = 0 n'admette qu'une solution.

Il faut donc que Δ = 0

Donc 60 + 8m = 0

Donc m = -60/8 = -15/2

b) A a donc pour abscisse : 6 / (2*2) = 6/4 = 3/2

A a pour ordonnée : 3/2 - 15/2 = -12/2 = -6

A a donc pour coordonnées (3/2 ; -6)

2) f est un polynôme, donc est dérivable sur R.

Soit x ∈ R

On a f'(x) = 4x - 5

L'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 3/2 est :

y = f'(3/2)(x-(3/2)) + f(3/2)

= ((12/2) - 5 )(x-(3/2)) + ((18/4) - (15/2) - 3)

= x - (3/2) + (-24/4)

= x - 30/4

= x - 15/2

On retrouve bien l'expression y = x + m avec m = -15/2

Donc D est tangente à C, en A.