Bonsoir j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cette exercice en math que je n'arrive pas à faire. Mercii d'avance pour votre aide ^^ Soit f la fonction dé

Réponse :

f(x) = √(x) - 3    définie sur [0 ; + ∞[

1) montrer que le taux de variation de f entre 9 et 9 + h est égal à :

     t(h) = 1/√(9 + h) + 3   pour tout réel h non nul et supérieur ou égal à (- 9)

  t(h) = [f(9+h) - f(9)]/h

        = (√(9+h) - 3) - (√9 - 3))/h

        =  (√(9+h) - 3) - 3 + 3))/h

        =  (√(9+h) - 3))/h

        =  (√(9+h) - 3) (√(9+h) + 3)/h (√(9+h) + 3)

        = (9 + h - 9)/h (√(9+h) + 3)

        = h/h (√(9+h) + 3)

   t(h) = 1/(√(9+h) + 3)

2) en déduire que f est dérivable en 9  et déterminer f '(9)

   f est dérivable en 9  si la lim t(h) = L  (limite finie)

                                             h→0

    lim t(h) = lim (1/√(9+h) + 3) = 1/6

    h→0         h→0

donc  f '(9) = lim t(h)= 1/6

                     h→0

3) retrouver ce résultat en utilisant les règles de dérivation

      f(x) = √x  - 3  

f est dérivable sur ]0 ; + ∞[  et sa dérivée est  f '(x) = 1/2√x

f '(9) = 1/2√9 = 1/6  

Explications étape par étape :