Bonjour Voici une question pour le Lundi 29 novembre ☺ : On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +∞[ par: [tex]f(x) = x + 4 - 4 ln(x) - \frac{3}
Question
Voici une question pour le Lundi 29 novembre ☺ :
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +∞[ par:
[tex]f(x) = x + 4 - 4 ln(x) - \frac{3}{x} [/tex]
Ou In désigne la fonction logarithme népérien.
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
1) Déterminer la limite de la fonction f en +∞
2) On admet que la fonction f est dérivable sur ]0; +∞[ et on note f sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0 on a :
[tex]f(x) = \frac{ {x}^{2} - 4x + 3 }{x {}^{2} } [/tex]
Merci au génie qui m'aideront !
2 Réponse
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1. Réponse Skabetix
Bonjour,
1) Pour déterminer la limite, il convient de terminer la limite de x - 4ln (x) puisque 4 est une constante et que 3/x tend vers 0
on a lim → +∞ de x - 4ln (x) = lim→+∞ de x(1 - 4ln (x)/x) or par croissance comparée lim → ln (x)/x = 0 d'où lim → +∞ de x - ln (x) = lim→+∞ x = +∞ d'où lim → + ∞ de x + 4 - 4ln(x) - 3/x = +∞
2) dérivée de -3/x = -(-3/x² ) = 3/x²
dérivée de x = 1
dérivée de 4 = 0
dérivée de -4ln(x) = -4 × 1/x = -4/x
donc f'(x) = 1 - 4/x + 3/x²
f'(x) = 1 × x² - (4 × x)/(x × x) + 3/x² = (x² - 4x + 3)/x²
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2. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = x + 4 - 4Lnx - (3/x) sur IR+*
■ dérivée f ' (x) = 1 - (4/x) + (3/x²)
= (x² - 4x + 3)/x²
= (x-1)(x-3)/x²
cette dérivée est négative pour 1 < x < 3
la fonction f est donc décroissante pour 1 < x < 3 .
■ comportement de la fonction f à l' infini :
Lim f(x) = Lim x + 4(1 - Lnx) = Lim x = +∞
La courbe admettra comme asymptote oblique
la droite d' équation y = x .
■ tableau :
x --> 0 1 2 3 6 10 100 1000 10ooo +∞
f(x) --> ║ 2 1,73 1,6 2,33 4,5 85,5 976 9967 +∞