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Question

A l’aide s’il vous plaît
Je suis en terminale option math expert
1. Montrer que A = 2305^2019 +1106^2019 est divisible par 9.

2. Montrer que, pour tout n appartenant a N, B = 5" x 12 - 12" x 5 est
divisible par 7.
n
A l’aide s’il vous plaît Je suis en terminale option math expert 1. Montrer que A = 2305^2019 +1106^2019 est divisible par 9. 2. Montrer que, pour tout n appart

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1 Réponse

  • Bonsoir,

    1.

    On a : 2305 = 256 × 9 + 1

    Donc 2305 ≡ 1 [9]

    Donc [tex]2305^{2019}[/tex] ≡ [tex]1^{2019}[/tex] [9]

    Donc [tex]2305^{2019}[/tex] ≡ 1 [9]

    De la même façon on a :

    1106 = 122 × 9 + 8

    Donc 1106 ≡ 8[9]

    Donc 1106 ≡ -1[9]

    Donc [tex]1106^{2019}[/tex] ≡ [tex](-1)^{2019}[/tex][9]

    Donc [tex]1106^{2019}[/tex] ≡ -1 [9]

    Donc [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex] ≡ (1-1) [9]

    Donc [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex] ≡ 0 [9]

    Donc A = [tex]2305^{2019} + 1106^{2019}[/tex]est divisible par 9.

    2. Soit n un entier naturel.

    Si n = 0, on a B = [tex]5^{0}[/tex] × [tex]12[/tex] - [tex]12^0[/tex] × 5 = 1 × 12 - 1 × 5 = 7

    Donc B est divisible par 7.

    Si n ≥ 1, on a :

    B = [tex]5^n[/tex] × 12 - [tex]12^n[/tex] × 5 = 5 × ([tex]5^{n-1}[/tex] x 12 - [tex]12^n[/tex]) = 5 × (12 × ([tex]5^{n-1}[/tex] - [tex]12^{n-1}[/tex]))

    = 60 × ([tex]5^{n-1} - 12^{n-1}[/tex])

    De plus, on sait que 5 ≡ 5 [7] donc 5 ≡ 12 [7]

    Donc comme n ≥ 1, on a :

    [tex]5^{n-1}[/tex] ≡ [tex]12^{n-1}[/tex] [7]

    Donc 7 divise [tex]5^{n-1} - 12^{n-1}[/tex]

    Donc B est divisible par 7.

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